Risolvi 69x-4<2x^2

$$69 x - 4 < 2 x ^ { 2 }$$

Risolvi per x

$$x\in \left(-\infty,\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{4729}+69}{4},\infty\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$69x-4-2x^{2}<0$$

Moltiplica la disequazione per-1 per rendere il coefficiente della massima potenza in 69x-4-2x^{2} positivo. Dal momento che -1 è negativo, la direzione della disuguaglianza è cambiata.

$$-69x+4+2x^{2}>0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-69x+4+2x^{2}=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 2 con a, -69 con b e 4 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{\sqrt{4729}+69}{4} x=\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}\right)\left(x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)>0$$

Affinché il prodotto sia positivo, x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} e x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} devono essere entrambi negativi o positivi. Considera il caso in cui x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} e x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} sono entrambi negativi.

$$x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}<0 x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Considera il caso in cui x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} e x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} sono entrambi positivi.

$$x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}>0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$