Risolvi 660x^2+524x+85

$$660 { x }^{ 2 } +524x+85$$

Scomponi in fattori

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 660x^{2}+ax+bx+85. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=524 ab=660\times 85=56100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 56100.

$$1,56100 2,28050 3,18700 4,14025 5,11220 6,9350 10,5610 11,5100 12,4675 15,3740 17,3300 20,2805 22,2550 25,2244 30,1870 33,1700 34,1650 44,1275 50,1122 51,1100 55,1020 60,935 66,850 68,825 75,748 85,660 100,561 102,550 110,510 132,425 150,374 165,340 170,330 187,300 204,275 220,255$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+56100=56101 2+28050=28052 3+18700=18703 4+14025=14029 5+11220=11225 6+9350=9356 10+5610=5620 11+5100=5111 12+4675=4687 15+3740=3755 17+3300=3317 20+2805=2825 22+2550=2572 25+2244=2269 30+1870=1900 33+1700=1733 34+1650=1684 44+1275=1319 50+1122=1172 51+1100=1151 55+1020=1075 60+935=995 66+850=916 68+825=893 75+748=823 85+660=745 100+561=661 102+550=652 110+510=620 132+425=557 150+374=524 165+340=505 170+330=500 187+300=487 204+275=479 220+255=475$$

La soluzione è la coppia che restituisce 524 come somma.

$$a=150 b=374$$

Riscrivi 660x^{2}+524x+85 come \left(660x^{2}+150x\right)+\left(374x+85\right).

$$\left(660x^{2}+150x\right)+\left(374x+85\right)$$

Fattori in 30x nel primo e 17 nel secondo gruppo.

$$30x\left(22x+5\right)+17\left(22x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune 22x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$660x^{2}+524x+85=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-524±\sqrt{524^{2}-4\times 660\times 85}}{2\times 660}$$

Eleva 524 al quadrato.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-4\times 660\times 85}}{2\times 660}$$

Moltiplica -4 per 660.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-2640\times 85}}{2\times 660}$$

Moltiplica -2640 per 85.

$$x=\frac{-524±\sqrt{274576-224400}}{2\times 660}$$

Aggiungi 274576 a -224400.

$$x=\frac{-524±\sqrt{50176}}{2\times 660}$$

Calcola la radice quadrata di 50176.

$$x=\frac{-524±224}{2\times 660}$$

Moltiplica 2 per 660.

$$x=\frac{-524±224}{1320}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-524±224}{1320} quando ± è più. Aggiungi -524 a 224.

$$x=-\frac{300}{1320}$$

Riduci la frazione \frac{-300}{1320} ai minimi termini estraendo e annullando 60.

$$x=-\frac{5}{22}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-524±224}{1320} quando ± è meno. Sottrai 224 da -524.

$$x=-\frac{748}{1320}$$

Riduci la frazione \frac{-748}{1320} ai minimi termini estraendo e annullando 44.

$$x=-\frac{17}{30}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{5}{22} e x_{2} con -\frac{17}{30}.

$$660x^{2}+524x+85=660\left(x-\left(-\frac{5}{22}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{30}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$660x^{2}+524x+85=660\left(x+\frac{5}{22}\right)\left(x+\frac{17}{30}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{22} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{22x+5}{22}\left(x+\frac{17}{30}\right)$$

Aggiungi \frac{17}{30} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{22x+5}{22}\times \frac{30x+17}{30}$$

Moltiplica \frac{22x+5}{22} per \frac{30x+17}{30} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)}{22\times 30}$$

Moltiplica 22 per 30.

$$660x^{2}+524x+85=660\times \frac{\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)}{660}$$

Annulla il massimo comune divisore 660 in 660 e 660.

$$660x^{2}+524x+85=\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$

Calcola

$$\left(22x+5\right)\left(30x+17\right)$$