Risolvi 64x^2+32x=-4

$$64 x ^ { 2 } + 32 x = - 4$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$64x^{2}+32x+4=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$16x^{2}+8x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 16x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=16\times 1=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=4 b=4$$

Riscrivi 16x^{2}+8x+1 come \left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right).

$$\left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right)$$

Scomponi 4x in 16x^{2}+4x.

$$4x\left(4x+1\right)+4x+1$$

Fattorizza il termine comune 4x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 4x+1=0.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$64x^{2}+32x=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$64x^{2}+32x-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$64x^{2}+32x-\left(-4\right)=0$$

Sottrai -4 da 0.

$$64x^{2}+32x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 64 a a, 32 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 64\times 4}}{2\times 64}$$

Eleva 32 al quadrato.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 64\times 4}}{2\times 64}$$

Moltiplica -4 per 64.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-256\times 4}}{2\times 64}$$

Moltiplica -256 per 4.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-1024}}{2\times 64}$$

Aggiungi 1024 a -1024.

$$x=\frac{-32±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{32}{2\times 64}$$

Moltiplica 2 per 64.

$$x=-\frac{32}{128}$$

Riduci la frazione \frac{-32}{128} ai minimi termini estraendo e annullando 32.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+32x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 64.

$$\frac{64x^{2}+32x}{64}=-\frac{4}{64}$$

La divisione per 64 annulla la moltiplicazione per 64.

$$x^{2}+\frac{32}{64}x=-\frac{4}{64}$$

Riduci la frazione \frac{32}{64} ai minimi termini estraendo e annullando 32.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{4}{64}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{64} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{16}$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{-1+1}{16}$$

Aggiungi -\frac{1}{16} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=0$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=0 x+\frac{1}{4}=0$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-\frac{1}{4}$$