Risolvi 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 64 a a, 24\sqrt{5} a b e 33 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Eleva 24\sqrt{5} al quadrato.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Moltiplica -4 per 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Moltiplica -256 per 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Aggiungi 2880 a -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Calcola la radice quadrata di -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Moltiplica 2 per 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} quando ± è più. Aggiungi -24\sqrt{5} a 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Dividi -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} per 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} quando ± è meno. Sottrai 8i\sqrt{87} da -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Dividi -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} per 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Sottrai 33 da entrambi i lati dell'equazione.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Sottraendo 33 da se stesso rimane 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Dividi entrambi i lati per 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

La divisione per 64 annulla la moltiplicazione per 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Dividi 24\sqrt{5} per 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Dividi \frac{3\sqrt{5}}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3\sqrt{5}}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3\sqrt{5}}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3\sqrt{5}}{16} al quadrato.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Aggiungi -\frac{33}{64} a \frac{45}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Fattore x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Sottrai \frac{3\sqrt{5}}{16} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$