Risolvi 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Scomponi in fattori

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 64v^{2}+av+bv+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

La soluzione è la coppia che restituisce 48 come somma.

$$a=24 b=24$$

Riscrivi 64v^{2}+48v+9 come \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

Fattori in 8v nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 8v+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Trova la radice quadrata del termine finale 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Eleva 48 al quadrato.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Moltiplica -4 per 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Moltiplica -256 per 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Aggiungi 2304 a -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Moltiplica 2 per 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{3}{8} e x_{2} con -\frac{3}{8}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{8} a v trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{8} a v trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Moltiplica \frac{8v+3}{8} per \frac{8v+3}{8} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Moltiplica 8 per 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Annulla il massimo comune divisore 64 in 64 e 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Calcola

$$\left(8v+3\right)^{2}$$