Risolvi 6x-x^2=8

$$6 x - x ^ { 2 } = 8$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$6x-x^{2}-8=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+6x-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-\left(-8\right)=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$1,8 2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+8=9 2+4=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=4 b=2$$

Riscrivi -x^{2}+6x-8 come \left(-x^{2}+4x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(2x-8\right)$$

Fattori in -x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(-x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e -x+2=0.

$$x=4 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+6x=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+6x-8=8-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+6x-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 6 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-32}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 36 a -32.

$$x=\frac{-6±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-6±2}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-6±2}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2}{-2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2}{-2} quando ± è meno. Sottrai 2 da -6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dividi -8 per -2.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=8$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{8}{-1}$$

Dividi 6 per -1.

$$x^{2}-6x=\frac{8}{-1}$$

Dividi 8 per -1.

$$x^{2}-6x=-8$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Aggiungi -8 a 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=2$$