Risolvi 6x^2-x-2=0

$$6 x ^ { 2 } - x - 2 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=6\left(-2\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-4 b=3$$

Riscrivi 6x^{2}-x-2 come \left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right)$$

Scomponi 2x in 6x^{2}-4x.

$$2x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-2=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -1 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 6}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{1±7}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±7}{12} quando ± è più. Aggiungi 1 a 7.

$$x=\frac{8}{12}$$

Riduci la frazione \frac{8}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±7}{12} quando ± è meno. Sottrai 7 da 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Sottraendo -2 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Sottrai -2 da 0.

$$6x^{2}-x=2$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{2}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{1}{3}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{7}{12}$$

Aggiungi \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$