Risolvi 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 15 da entrambi i lati.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-10 b=9$$

Riscrivi 6x^{2}-x-15 come \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-x=15$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Sottraendo 15 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -1 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1 a 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±19}{12} quando ± è più. Aggiungi 1 a 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Riduci la frazione \frac{20}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±19}{12} quando ± è meno. Sottrai 19 da 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Riduci la frazione \frac{15}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Dividi -\frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Aggiungi \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$