Risolvi 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-9 b=2$$

Riscrivi 6x^{2}-7x-3 come \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Scomponi 3x in 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Fattorizzare il termine comune 2x-3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 2x-3=0 e 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -7 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Aggiungi 49 a 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±11}{12} quando ± è più. Aggiungi 7 a 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Riduci la frazione \frac{18}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±11}{12} quando ± è meno. Sottrai 11 da 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Riduci la frazione \frac{3}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Dividi -\frac{7}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{49}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Scomponi x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Aggiungi \frac{7}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$