Risolvi 6x^2-41x+63

$$6 x ^ { 2 } - 41 x + 63$$

Scomponi in fattori

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 6x^{2}+ax+bx+63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=6\times 63=378$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 378.

$$-1,-378 -2,-189 -3,-126 -6,-63 -7,-54 -9,-42 -14,-27 -18,-21$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-378=-379 -2-189=-191 -3-126=-129 -6-63=-69 -7-54=-61 -9-42=-51 -14-27=-41 -18-21=-39$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-27 b=-14$$

Riscrivi 6x^{2}-41x+63 come \left(6x^{2}-27x\right)+\left(-14x+63\right).

$$\left(6x^{2}-27x\right)+\left(-14x+63\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -7 nel secondo gruppo.

$$3x\left(2x-9\right)-7\left(2x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-41x+63=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Eleva -41 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-24\times 63}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per 63.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1512}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1681 a -1512.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±13}{2\times 6}$$

L'opposto di -41 è 41.

$$x=\frac{41±13}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{41±13}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±13}{12} quando ± è più. Aggiungi 41 a 13.

$$x=\frac{54}{12}$$

Riduci la frazione \frac{54}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{41±13}{12} quando ± è meno. Sottrai 13 da 41.

$$x=\frac{28}{12}$$

Riduci la frazione \frac{28}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{7}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{9}{2} e x_{2} con \frac{7}{3}.

$$6x^{2}-41x+63=6\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\frac{7}{3}\right)$$

Sottrai \frac{9}{2} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{2x-9}{2}\left(x-\frac{7}{3}\right)$$

Sottrai \frac{7}{3} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{2x-9}{2}\times \frac{3x-7}{3}$$

Moltiplica \frac{2x-9}{2} per \frac{3x-7}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)}{6}$$

Annulla il massimo comune divisore 6 in 6 e 6.

$$6x^{2}-41x+63=\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Calcola

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$