Risolvi 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-6 b=1$$

Riscrivi 6x^{2}-5x-1 come \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Scomponi 6x in 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -5 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Aggiungi 25 a 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{12} quando ± è più. Aggiungi 5 a 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Dividi 12 per 12.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{12} quando ± è meno. Sottrai 7 da 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Dividi -\frac{5}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Aggiungi \frac{1}{6} a \frac{25}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Aggiungi \frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$