Risolvi 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-3 b=10$$

Riscrivi 6x^{2}+7x-5 come \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 7 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Aggiungi 49 a 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±13}{12} quando ± è più. Aggiungi -7 a 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Riduci la frazione \frac{6}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±13}{12} quando ± è meno. Sottrai 13 da -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividi \frac{7}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a \frac{49}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Sottrai \frac{7}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$