Risolvi 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+6=7 2+3=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=2 b=3$$

Riscrivi 6x^{2}+5x+1 come \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Scomponi 2x in 6x^{2}+2x.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Fattorizza il termine comune 3x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+1=0 e 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 5 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Aggiungi 25 a -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±1}{12} quando ± è più. Aggiungi -5 a 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±1}{12} quando ± è meno. Sottrai 1 da -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Dividi \frac{5}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Aggiungi -\frac{1}{6} a \frac{25}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Sottrai \frac{5}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$