Risolvi 6x^2+13x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +13x-5 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=-2 b=15$$

Riscrivi 6x^{2}+13x-5 come \left(6x^{2}-2x\right)+\left(15x-5\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(15x-5\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+13x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 13 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -5.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2\times 6}$$

Aggiungi 169 a 120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-13±17}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-13±17}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±17}{12} quando ± è più. Aggiungi -13 a 17.

$$x=\frac{4}{12}$$

Riduci la frazione \frac{4}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±17}{12} quando ± è meno. Sottrai 17 da -13.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+13x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+13x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+13x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$6x^{2}+13x=5$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+13x}{6}=\frac{5}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividi \frac{13}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{5}{6}+\frac{169}{144}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a \frac{169}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{289}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{289}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{13}{12}=\frac{17}{12} x+\frac{13}{12}=-\frac{17}{12}$$

Sottrai \frac{13}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$