Risolvi 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=2 b=9$$

Riscrivi 6x^{2}+11x+3 come \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+1=0 e 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 11 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Aggiungi 121 a -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±7}{12} quando ± è più. Aggiungi -11 a 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±7}{12} quando ± è meno. Sottrai 7 da -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-3}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Dividi \frac{11}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{121}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Sottrai \frac{11}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$