Risolvi 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Scomponi in fattori

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 52z^{2}+az+bz+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

La soluzione è la coppia che restituisce -43 come somma.

$$a=-39 b=-4$$

Riscrivi 52z^{2}-43z+3 come \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Fattori in 13z nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4z-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Eleva -43 al quadrato.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Moltiplica -4 per 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Moltiplica -208 per 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Aggiungi 1849 a -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Calcola la radice quadrata di 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

L'opposto di -43 è 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Moltiplica 2 per 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{43±35}{104} quando ± è più. Aggiungi 43 a 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Riduci la frazione \frac{78}{104} ai minimi termini estraendo e annullando 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{43±35}{104} quando ± è meno. Sottrai 35 da 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Riduci la frazione \frac{8}{104} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{4} e x_{2} con \frac{1}{13}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Sottrai \frac{3}{4} da z trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Sottrai \frac{1}{13} da z trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Moltiplica \frac{4z-3}{4} per \frac{13z-1}{13} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Moltiplica 4 per 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Annulla il massimo comune divisore 52 in 52 e 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Calcola

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$