Risolvi 5y^2+27y+10

$$5 y ^ { 2 } + 27 y + 10$$

Scomponi in fattori

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 5y^{2}+ay+by+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

La soluzione è la coppia che restituisce 27 come somma.

$$a=2 b=25$$

Riscrivi 5y^{2}+27y+10 come \left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right).

$$\left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right)$$

Fattori in y nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$y\left(5y+2\right)+5\left(5y+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5y+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+27y+10=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Eleva 27 al quadrato.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 10.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 729 a -200.

$$y=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 529.

$$y=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$y=\frac{-27±23}{10}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-27±23}{10} quando ± è più. Aggiungi -27 a 23.

$$y=-\frac{4}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-27±23}{10} quando ± è meno. Sottrai 23 da -27.

$$y=-\frac{50}{10}$$

Dividi -50 per 10.

$$y=-5$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{2}{5} e x_{2} con -5.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-5\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+5\right)$$

Aggiungi \frac{2}{5} a y trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$5y^{2}+27y+10=5\times \frac{5y+2}{5}\left(y+5\right)$$

Annulla il massimo comune divisore 5 in 5 e 5.

$$5y^{2}+27y+10=\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

Calcola

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$