Risolvi 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=2$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$5x-2y=1$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=2y+1$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Moltiplica \frac{1}{5} per 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Sostituisci \frac{2y+1}{5} a x nell'altra equazione 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Moltiplica 3 per \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Aggiungi \frac{6y}{5} a 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Sottrai \frac{3}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{31}{5}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Moltiplica \frac{2}{5} per 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Aggiungi \frac{1}{5} a \frac{4}{5} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=2$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=2$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Per rendere 5x e 3x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 3 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Semplifica.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Sottrai 15x+25y=65 a 15x-6y=3 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Aggiungi 15x a -15x. I termini 15x e -15x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-6y-25y=3-65$$

Aggiungi -6y a -25y.

$$-31y=3-65$$

Aggiungi 3 a -65.

$$-31y=-62$$

Dividi entrambi i lati per -31.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in 3x+5y=13. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$3x+5\times 2=13$$

Moltiplica 5 per 2.

$$3x+10=13$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=3$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=2$$