Risolvi 5x^2-8x-13=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 13 = 0$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-13. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -65.

$$1,-65 5,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-13 b=5$$

Riscrivi 5x^{2}-8x-13 come \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Scomponi x in 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Fattorizza il termine comune 5x-13 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-13=0 e x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -8 a b e -13 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -13.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+260}}{2\times 5}$$

Aggiungi 64 a 260.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±18}{2\times 5}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±18}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{8±18}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±18}{10} quando ± è più. Aggiungi 8 a 18.

$$x=\frac{26}{10}$$

Riduci la frazione \frac{26}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{13}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±18}{10} quando ± è meno. Sottrai 18 da 8.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Aggiungi 13 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-8x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Sottraendo -13 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-13\right)$$

Sottrai -13 da 0.

$$5x^{2}-8x=13$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{13}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Dividi -\frac{8}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Aggiungi \frac{13}{5} a \frac{16}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Aggiungi \frac{4}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$