Risolvi 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -7 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Aggiungi 49 a 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} quando ± è più. Aggiungi 7 a \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{109} da 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividi -\frac{7}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Aggiungi \frac{3}{5} a \frac{49}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Aggiungi \frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$