Risolvi 5x^2-7x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10}\approx 0,7+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}\approx 0,7-0,331662479i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-7x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -7 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Aggiungi 49 a -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10} quando ± è più. Aggiungi 7 a i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{11} da 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-7x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-7x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividi -\frac{7}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Aggiungi -\frac{3}{5} a \frac{49}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Aggiungi \frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$