Risolvi 5x^2-5x-30=-20

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 30 = - 20$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 20 a entrambi i lati.

$$5x^{2}-5x-30+20=0$$

E -30 e 20 per ottenere -10.

$$5x^{2}-5x-10=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}-x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=1$$

Riscrivi x^{2}-x-2 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scomponi x in x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-5x-30=-20$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-5x-30-\left(-20\right)=-20-\left(-20\right)$$

Sottraendo -20 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-5x-30-\left(-20\right)=0$$

Sottrai -20 da -30.

$$5x^{2}-5x-10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -5 a b e -10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 25 a 200.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{225}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±15}{2\times 5}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±15}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{5±15}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±15}{10} quando ± è più. Aggiungi 5 a 15.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividi 20 per 10.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±15}{10} quando ± è meno. Sottrai 15 da 5.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-30=-20$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-5x-30-\left(-30\right)=-20-\left(-30\right)$$

Sottraendo -30 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-5x=-20-\left(-30\right)$$

Sottrai -30 da -20.

$$5x^{2}-5x=10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{10}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{10}{5}$$

Dividi -5 per 5.

$$x^{2}-x=\frac{10}{5}$$

Dividi 10 per 5.

$$x^{2}-x=2$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 2 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-1$$