Risolvi 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -9.

$$1,-9 3,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-9=-8 3-3=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-9 b=1$$

Riscrivi x^{2}-8x-9 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Scomponi x in x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+1=0.

$$x=9 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -40 a b e -45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -40 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1600 a 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

L'opposto di -40 è 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{40±50}{10} quando ± è più. Aggiungi 40 a 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Dividi 90 per 10.

$$x=9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{40±50}{10} quando ± è meno. Sottrai 50 da 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Aggiungi 45 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Sottraendo -45 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Sottrai -45 da 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Dividi -40 per 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Dividi 45 per 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Aggiungi 9 a 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Fattore x^{2}-8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=9 x=-1$$