Risolvi 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -40 a b e 85 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Eleva -40 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1600 a -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

L'opposto di -40 è 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{40±10i}{10} quando ± è più. Aggiungi 40 a 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Dividi 40+10i per 10.

$$x=4+i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{40±10i}{10} quando ± è meno. Sottrai 10i da 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Dividi 40-10i per 10.

$$x=4-i$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4+i x=4-i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Sottrai 85 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Sottraendo 85 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Dividi -40 per 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Dividi -85 per 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Aggiungi -17 a 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Fattore x^{2}-8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Semplifica.

$$x-4=i x-4=-i$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4+i x=4-i$$