Risolvi 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-5 b=2$$

Riscrivi 5x^{2}-3x-2 come \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -3 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Aggiungi 9 a 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{10} quando ± è più. Aggiungi 3 a 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividi 10 per 10.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{10} quando ± è meno. Sottrai 7 da 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Sottraendo -2 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Sottrai -2 da 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Dividi -\frac{3}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Aggiungi \frac{2}{5} a \frac{9}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Aggiungi \frac{3}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$