Risolvi 5x^2-20x+12=x^2+7x-6

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = x ^ { 2 } + 7 x - 6$$

Trova x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combina 5x^{2} e -x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combina -20x e -7x per ottenere -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

E 12 e 6 per ottenere 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-27 ab=4\times 18=72$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

La soluzione è la coppia che restituisce -27 come somma.

$$a=-24 b=-3$$

Riscrivi 4x^{2}-27x+18 come \left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right)$$

Fattori in 4x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(x-6\right)-3\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(4x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e 4x-3=0.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combina 5x^{2} e -x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combina -20x e -7x per ottenere -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

E 12 e 6 per ottenere 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -27 a b e 18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Eleva -27 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-16\times 18}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 4}$$

Aggiungi 729 a -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 4}$$

L'opposto di -27 è 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{27±21}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{27±21}{8} quando ± è più. Aggiungi 27 a 21.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividi 48 per 8.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{27±21}{8} quando ± è meno. Sottrai 21 da 27.

$$x=\frac{6}{8}$$

Riduci la frazione \frac{6}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combina 5x^{2} e -x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combina -20x e -7x per ottenere -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-27x=-6-12$$

Sottrai 12 da -6 per ottenere -18.

$$4x^{2}-27x=-18$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-27x}{4}=-\frac{18}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{18}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{9}{2}$$

Dividi -\frac{27}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{27}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{27}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{27}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=-\frac{9}{2}+\frac{729}{64}$$

Aggiungi -\frac{9}{2} a \frac{729}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{441}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{27}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{27}{8}=-\frac{21}{8}$$

Aggiungi \frac{27}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$