Risolvi 5x^2+x+1=5

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Sottrai 5 da 1 per ottenere -4.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-4 b=5$$

Riscrivi 5x^{2}+x-4 come \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Scomponi x in 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Fattorizza il termine comune 5x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-4=0 e x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Sottrai 5 da 1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 1 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1 a 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±9}{10} quando ± è più. Aggiungi -1 a 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Riduci la frazione \frac{8}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±9}{10} quando ± è meno. Sottrai 9 da -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

Sottrai 1 da 5.

$$5x^{2}+x=4$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividi \frac{1}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Aggiungi \frac{4}{5} a \frac{1}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Sottrai \frac{1}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$