Risolvi 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Trova x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-1 b=15$$

Riscrivi x^{2}+14x-15 come \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Fattori in x nel primo e 15 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 70 a b e -75 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 70 al quadrato.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Aggiungi 4900 a 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-70±80}{10} quando ± è più. Aggiungi -70 a 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividi 10 per 10.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-70±80}{10} quando ± è meno. Sottrai 80 da -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Dividi -150 per 10.

$$x=-15$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-15$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Aggiungi 75 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Sottraendo -75 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Sottrai -75 da 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Dividi 70 per 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Dividi 75 per 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Dividi 14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 7. Quindi aggiungi il quadrato di 7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Aggiungi 15 a 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Fattore x^{2}+14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Semplifica.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-15$$