Risolvi 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Trova x

$$x=-6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+36. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=6 b=6$$

Riscrivi x^{2}+12x+36 come \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Fattorizza il termine comune x+6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi x+6=0.

$$x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 60 a b e 180 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Eleva 60 al quadrato.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Aggiungi 3600 a -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Dividi -60 per 10.

$$x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Sottrai 180 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Sottraendo 180 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Dividi 60 per 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Dividi -180 per 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Aggiungi -36 a 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+6=0 x+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-6 x=-6$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-6$$