Risolvi 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 6 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 36 a -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} quando ± è più. Aggiungi -6 a 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Dividi -6+2i\sqrt{41} per 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{41} da -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Dividi -6-2i\sqrt{41} per 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividi -10 per 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Dividi \frac{6}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Sottrai \frac{3}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$