Risolvi 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 4 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Aggiungi 16 a -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} quando ± è più. Aggiungi -4 a 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Dividi -4+2i\sqrt{11} per 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{11} da -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Dividi -4-2i\sqrt{11} per 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividi \frac{4}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Aggiungi -\frac{3}{5} a \frac{4}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Sottrai \frac{2}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$