Risolvi 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 3 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Aggiungi 9 a -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} quando ± è più. Aggiungi -3 a i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{11} da -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividi \frac{3}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Aggiungi -\frac{1}{5} a \frac{9}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Scomponi x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Sottrai \frac{3}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$