Risolvi 5x^2+21x=-10x-6

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combina 21x e 10x per ottenere 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx+6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 31 come somma.

$$a=1 b=30$$

Riscrivi 5x^{2}+31x+6 come \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+1=0 e x+6=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combina 21x e 10x per ottenere 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 31 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Eleva 31 al quadrato.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

Aggiungi 961 a -120.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-31±29}{10} quando ± è più. Aggiungi -31 a 29.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-31±29}{10} quando ± è meno. Sottrai 29 da -31.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Dividi -60 per 10.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combina 21x e 10x per ottenere 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Dividi \frac{31}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{31}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{31}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{31}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

Aggiungi -\frac{6}{5} a \frac{961}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

Fattore x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

Sottrai \frac{31}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$