Risolvi 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 21 come somma.

$$a=1 b=20$$

Riscrivi 5x^{2}+21x+4 come \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+1=0 e x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 21 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Eleva 21 al quadrato.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Aggiungi 441 a -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-21±19}{10} quando ± è più. Aggiungi -21 a 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-21±19}{10} quando ± è meno. Sottrai 19 da -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dividi -40 per 10.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Dividi \frac{21}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{21}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{21}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{21}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Aggiungi -\frac{4}{5} a \frac{441}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Fattore x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Sottrai \frac{21}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$