Risolvi 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 2 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Aggiungi 4 a -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Dividi -2+2i\sqrt{39} per 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{39} da -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Dividi -2-2i\sqrt{39} per 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Dividi \frac{2}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Aggiungi -\frac{8}{5} a \frac{1}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Scomponi x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Sottrai \frac{1}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$