Risolvi 5w^2+13w=-6

$$5 w ^ { 2 } + 13 w = - 6$$

Trova w

$$w=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$w=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5w^{2}+aw+bw+6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=5\times 6=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=3 b=10$$

Riscrivi 5w^{2}+13w+6 come \left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right).

$$\left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right)$$

Fattori in w nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$w\left(5w+3\right)+2\left(5w+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 5w+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5w+3\right)\left(w+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5w+3=0 e w+2=0.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=-6-\left(-6\right)$$

Sottraendo -6 da se stesso rimane 0.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=0$$

Sottrai -6 da 0.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 13 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-20\times 6}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 6.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\times 5}$$

Aggiungi 169 a -120.

$$w=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$w=\frac{-13±7}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$w=\frac{-13±7}{10}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-13±7}{10} quando ± è più. Aggiungi -13 a 7.

$$w=-\frac{6}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$w=-\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-13±7}{10} quando ± è meno. Sottrai 7 da -13.

$$w=-\frac{20}{10}$$

Dividi -20 per 10.

$$w=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5w^{2}+13w}{5}=-\frac{6}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w=-\frac{6}{5}$$

Dividi \frac{13}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{169}{100}$$

Aggiungi -\frac{6}{5} a \frac{169}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=\frac{49}{100}$$

Fattore w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Semplifica.

$$w+\frac{13}{10}=\frac{7}{10} w+\frac{13}{10}=-\frac{7}{10}$$

Sottrai \frac{13}{10} da entrambi i lati dell'equazione.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$