Risolvi 5a^2-21a=20

$$5 a ^ { 2 } - 21 a = 20$$

Trova a

$$a=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$a=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$5a^{2}-21a-20=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5a^{2}+aa+ba-20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-21 ab=5\left(-20\right)=-100$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -100.

$$1,-100 2,-50 4,-25 5,-20 10,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-100=-99 2-50=-48 4-25=-21 5-20=-15 10-10=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -21 come somma.

$$a=-25 b=4$$

Riscrivi 5a^{2}-21a-20 come \left(5a^{2}-25a\right)+\left(4a-20\right).

$$\left(5a^{2}-25a\right)+\left(4a-20\right)$$

Fattori in 5a nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$5a\left(a-5\right)+4\left(a-5\right)$$

Fattorizza il termine comune a-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(a-5\right)\left(5a+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere a-5=0 e 5a+4=0.

$$a=5 a=-\frac{4}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5a^{2}-21a=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5a^{2}-21a-20=20-20$$

Sottraendo 20 da se stesso rimane 0.

$$5a^{2}-21a-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -21 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -21 al quadrato.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -20.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+400}}{2\times 5}$$

Aggiungi 441 a 400.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±29}{2\times 5}$$

L'opposto di -21 è 21.

$$a=\frac{21±29}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$a=\frac{21±29}{10}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{21±29}{10} quando ± è più. Aggiungi 21 a 29.

$$a=\frac{50}{10}$$

Dividi 50 per 10.

$$a=5$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{21±29}{10} quando ± è meno. Sottrai 29 da 21.

$$a=-\frac{8}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$a=5 a=-\frac{4}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5a^{2}-21a=20$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5a^{2}-21a}{5}=\frac{20}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$a^{2}-\frac{21}{5}a=\frac{20}{5}$$

Dividi 20 per 5.

$$a^{2}-\frac{21}{5}a=4$$

Dividi -\frac{21}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{21}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{21}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$a^{2}-\frac{21}{5}a+\left(-\frac{21}{10}\right)^{2}=4+\left(-\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{21}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$a^{2}-\frac{21}{5}a+\frac{441}{100}=4+\frac{441}{100}$$

Aggiungi 4 a \frac{441}{100}.

$$a^{2}-\frac{21}{5}a+\frac{441}{100}=\frac{841}{100}$$

Fattore a^{2}-\frac{21}{5}a+\frac{441}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(a-\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Semplifica.

$$a-\frac{21}{10}=\frac{29}{10} a-\frac{21}{10}=-\frac{29}{10}$$

Aggiungi \frac{21}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$a=5 a=-\frac{4}{5}$$