Risolvi 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Trova y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -90 a b e 54 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Eleva -90 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Aggiungi 8100 a -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

L'opposto di -90 è 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} quando ± è più. Aggiungi 90 a 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Dividi 90+6\sqrt{195} per 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} quando ± è meno. Sottrai 6\sqrt{195} da 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Dividi 90-6\sqrt{195} per 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Sottrai 54 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Sottraendo 54 da se stesso rimane 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Dividi -90 per 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Dividi -18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -9. Quindi aggiungi il quadrato di -9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Aggiungi -\frac{54}{5} a 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Fattore y^{2}-18y+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Semplifica.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$