Risolvi 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Trova x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-2184. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-105 b=104$$

Riscrivi 5x^{2}-x-2184 come \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 104 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Fattorizza il termine comune x-21 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-21=0 e 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -1 a b e -2184 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1 a 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±209}{10} quando ± è più. Aggiungi 1 a 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Dividi 210 per 10.

$$x=21$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±209}{10} quando ± è meno. Sottrai 209 da 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-208}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Aggiungi 2184 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Sottraendo -2184 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Sottrai -2184 da 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Dividi -\frac{1}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Aggiungi \frac{2184}{5} a \frac{1}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Aggiungi \frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$