Risolvi 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -4 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 16 a -200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} quando ± è più. Aggiungi 4 a 2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

Dividi 4+2i\sqrt{46} per 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{46} da 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

Dividi 4-2i\sqrt{46} per 10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividi -10 per 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

Dividi -\frac{4}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

Aggiungi -2 a \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

Scomponi x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Aggiungi \frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$