Risolvi 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Trova x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-32x=48$$

Sottrai 48 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Sottraendo 48 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -32 a b e -48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1024 a 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} quando ± è più. Aggiungi 32 a 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Dividi 32+8\sqrt{31} per 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} quando ± è meno. Sottrai 8\sqrt{31} da 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Dividi 32-8\sqrt{31} per 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Dividi -\frac{32}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{16}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{16}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Aggiungi \frac{48}{5} a \frac{256}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Aggiungi \frac{16}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$