Risolvi 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Trova x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-42. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -29 come somma.

$$a=-35 b=6$$

Riscrivi 5x^{2}-29x-42 come \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -29 a b e -42 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -29 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Aggiungi 841 a 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

L'opposto di -29 è 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{29±41}{10} quando ± è più. Aggiungi 29 a 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividi 70 per 10.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{29±41}{10} quando ± è meno. Sottrai 41 da 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Aggiungi 42 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Sottraendo -42 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Sottrai -42 da 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Dividi -\frac{29}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{29}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{29}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{29}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Aggiungi \frac{42}{5} a \frac{841}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Aggiungi \frac{29}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$