Risolvi 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-3 b=1$$

Riscrivi x^{2}-2x-3 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Scomponi x in x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -10 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Aggiungi 100 a 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±20}{10} quando ± è più. Aggiungi 10 a 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividi 30 per 10.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±20}{10} quando ± è meno. Sottrai 20 da 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Dividi -10 per 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Dividi 15 per 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Aggiungi 3 a 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-1$$