Risolvi 5x^2+8x+3=0

$$5 { x }^{ 2 } +8x+3=0$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=5\times 3=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+15=16 3+5=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=3 b=5$$

Riscrivi 5x^{2}+8x+3 come \left(5x^{2}+3x\right)+\left(5x+3\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(5x+3\right)$$

Scomponi x in 5x^{2}+3x.

$$x\left(5x+3\right)+5x+3$$

Fattorizza il termine comune 5x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+3\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+3=0 e x+1=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+8x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 8 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Aggiungi 64 a -60.

$$x=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-8±2}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-8±2}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±2}{10} quando ± è più. Aggiungi -8 a 2.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±2}{10} quando ± è meno. Sottrai 2 da -8.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+8x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+8x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividi \frac{8}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{4}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{4}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Aggiungi -\frac{3}{5} a \frac{16}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Sottrai \frac{4}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$