Risolvi 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 5 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Aggiungi 25 a -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} quando ± è più. Aggiungi -5 a i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Dividi -5+i\sqrt{155} per 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{155} da -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Dividi -5-i\sqrt{155} per 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Dividi 5 per 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{5} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$