Risolvi 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 32 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Eleva 32 al quadrato.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

Aggiungi 1024 a -200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} quando ± è più. Aggiungi -32 a 2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

Dividi -32+2\sqrt{206} per 10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{206} da -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

Dividi -32-2\sqrt{206} per 10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+32x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividi -10 per 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

Dividi \frac{32}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{16}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{16}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{16}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

Aggiungi -2 a \frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

Scomponi x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

Sottrai \frac{16}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$