Risolvi 5x^2+26x-24=0

$$5 { x }^{ 2 } +26x-24=0$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=26 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 26 come somma.

$$a=-4 b=30$$

Riscrivi 5x^{2}+26x-24 come \left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x-4\right)+6\left(5x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-4=0 e x+6=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 26 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 26 al quadrato.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -24.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\times 5}$$

Aggiungi 676 a 480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 1156.

$$x=\frac{-26±34}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-26±34}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±34}{10} quando ± è più. Aggiungi -26 a 34.

$$x=\frac{8}{10}$$

Riduci la frazione \frac{8}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±34}{10} quando ± è meno. Sottrai 34 da -26.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Dividi -60 per 10.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x^{2}+26x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Sottraendo -24 da se stesso rimane 0.

$$5x^{2}+26x=-\left(-24\right)$$

Sottrai -24 da 0.

$$5x^{2}+26x=24$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+26x}{5}=\frac{24}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x=\frac{24}{5}$$

Dividi \frac{26}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{24}{5}+\frac{169}{25}$$

Aggiungi \frac{24}{5} a \frac{169}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{289}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{289}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{13}{5}=\frac{17}{5} x+\frac{13}{5}=-\frac{17}{5}$$

Sottrai \frac{13}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$