Risolvi 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Scomponi in fattori

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 5x^{2}+ax+bx+12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La soluzione è la coppia che restituisce 23 come somma.

$$a=3 b=20$$

Riscrivi 5x^{2}+23x+12 come \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Fattorizza x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Fattorizzare il termine comune 5x+3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Eleva 23 al quadrato.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Aggiungi 529 a -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±17}{10} quando ± è più. Aggiungi -23 a 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±17}{10} quando ± è meno. Sottrai 17 da -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dividi -40 per 10.

$$x=-4$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{3}{5} e x_{2} con -4.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Aggiungi \frac{3}{5} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Cancella 5, il massimo comune divisore in 5 e 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Calcola

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$