Risolvi 49x^2+9=42x

$$49 x ^ { 2 } + 9 = 42 x$$

Trova x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 42x da entrambi i lati.

$$49x^{2}+9-42x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 49x^{2}+ax+bx+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

La soluzione è la coppia che restituisce -42 come somma.

$$a=-21 b=-21$$

Riscrivi 49x^{2}-42x+9 come \left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

Fattori in 7x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 7x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 7x-3=0.

$$x=\frac{3}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 42x da entrambi i lati.

$$49x^{2}+9-42x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 49 a a, -42 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Eleva -42 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Aggiungi 1764 a -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-42}{2\times 49}$$

L'opposto di -42 è 42.

$$x=\frac{42}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$x=\frac{42}{98}$$

Riduci la frazione \frac{42}{98} ai minimi termini estraendo e annullando 14.

$$x=\frac{3}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 42x da entrambi i lati.

$$49x^{2}+9-42x=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$49x^{2}-42x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 49.

$$\frac{49x^{2}-42x}{49}=-\frac{9}{49}$$

La divisione per 49 annulla la moltiplicazione per 49.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{49}\right)x=-\frac{9}{49}$$

Riduci la frazione \frac{-42}{49} ai minimi termini estraendo e annullando 7.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x=-\frac{9}{49}$$

Dividi -\frac{6}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{-9+9}{49}$$

Aggiungi -\frac{9}{49} a \frac{9}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=0$$

Fattore x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{7}=0 x-\frac{3}{7}=0$$

Aggiungi \frac{3}{7} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{3}{7}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{3}{7}$$