Risolvi 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 49 a a, 30 a b e 25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Eleva 30 al quadrato.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Aggiungi 900 a -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Calcola la radice quadrata di -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} quando ± è più. Aggiungi -30 a 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Dividi -30+20i\sqrt{10} per 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} quando ± è meno. Sottrai 20i\sqrt{10} da -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Dividi -30-20i\sqrt{10} per 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Sottrai 25 da entrambi i lati dell'equazione.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Sottraendo 25 da se stesso rimane 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Dividi entrambi i lati per 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

La divisione per 49 annulla la moltiplicazione per 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Dividi \frac{30}{49}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{15}{49}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{15}{49} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{49} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Aggiungi -\frac{25}{49} a \frac{225}{2401} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Fattore x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Sottrai \frac{15}{49} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$